定积分求面积~求助高手~ r=cosα,r=sinα,(α大于等于0小于等于二分之π)

Question

如题：r=cosα,r=sinα,(α大于等于0小于等于二分之π)
求所围成的面积
图像画出来好像是两个圆相交 相交的部分就是所求面积 但不知道怎么求 希望高手帮忙~最好把图也发来 不胜感激 QQ：65383681
我会再追加50分给帮助我的人 谢谢~

Answer 1

如图,阴影部分面积S 为两个圆相交;对称轴为直线α=π/4. 

找积分元:S1是由半径为r,圆心角为dα的扇形微元构成的. 

(由于dα→0,即在无限小的范围内,该微元可被看作扇形) 

这个扇形微元面积为r×(r·dα)/2. 

则所求面积 S 

=2·S1 

=2·∫(积分限从0到π/4) r×(r·dα)/2 

=2·(1/2)·∫(积分限从0到π/4) r^2 ·dα 

=∫(积分限从0到π/4) (sinα)^2 dα 

=∫(积分限从0到π/4) (1-cos2α)/2 dα 

=(1/4) ∫(积分限从0到π/4) (1-cos2α) d(2α) 

=(1/4) [2α |(取值从0到π/4) - sin2α |(取值从0到π/4)] 

=(1/4) [π/2 - 1] 

=π/8-1/4

Answer 2

楼主，我为你解答的这题，用了一点极坐标的二重积分。

解题过程还是比较清晰地。

Answer 3

普通输入法不怎么好打，我说过程吧

两个三角曲线相交，相交部分面积为S

则S/2=cosα在π/4到π/2的积分

然后求出S，最后结果好像是二减根号二

Answer 4

1)可以通过积分来求，不过这样需要转化成直角坐标似乎更方便一些，交点为（1/2，1/2），分别是两个半圆，方程分别是（x-1/2)^2+y^2=1/4,x^2+(t-1/2)^2=1/4,计算出y来，然后积分，这个积分比较麻烦

2）如果我们画图出来，它是两个圆在第一象限内的部分，交点为（1/2，1/2）
从原点作连接交点的线，得到一个类似凸透镜的结构，就是要求这个图形的面积，从这个交点，连接任何一个圆在x轴或y轴上的点，可以把透镜的一半面积移过去，很清楚地看出来，这个面积等于半圆的面积-以半圆的直径作为斜边的等腰直角三角形的面积
S=π/2 -1/4

Answer 5

交点是4分之π
过交点作个垂线，把那个相交部分分成等面积的2部分
现在求左边那个
左边那个的那条弧线是cosα的
所以积分 cosα ，区间是[0,π/4]
积出来是根号2/2
所以整个面积就是根号2

积分那步，就直接代公式，cosα的不定积分是sinα，所以积分 cosα ，区间是[0,π/4]的结果就是 sin π/4 -sin 0