定义在R上的函数f（x），满足对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）．（1）判断函数f（x）的奇

Question

定义在R上的函数f（x），满足对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）如果f（3）=1，f（x-1）＜2，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，试求实数x的取值范围．

Answer 1

（1）令x₁=x₂=0，得f（0）=0；
令x₁=x，x₂=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
即f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）∵f（3）=1，
∴f（6）=f（3）+f（3）=2，
∴原不等式化为f（x-1）＜f（6）．
又f（x）在[0，+∞）上是增函数，
f（0）=0且f（x）是奇函数，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
因此x-1＜6，
∴x＜7．
所以实数x的取值范围是（-∞，7）．