?级数法?对不起,没有听说过,只是知道要么是极限形式,要么是不等式形式,不等式形式用起来有时稍麻烦点,所以还是先考虑极限形式,再考虑不等式形式
1、n→∞,1-cos(a/n)等价于1/2×a^2/n^2,而∑(1/n^2)收敛,所以原级数绝对收敛
2、注意到x^2y''-2xy'是y'/x^2的导数的分子,所以原微分方程化为:x^4×(y'/x^2)'=(y')^2,令z=y'/x^2,则方程化为dz/dx=z^2,其通解是z=-1/(x+c1),所以y'=-x^2/(x+c1),求解一个不定积分即可:y=-1/2×x^2+c1x+(c1)^2ln|x+c1|+c2
3、d={(x,y)│x^2+y^2≤x+y+1}={(x,y)|(x-1/2)^2+(y-1/2)^2≤3/2}
方法一:二重积分的换元法,令u=x-1/2,v=y-1/2,则d为u^2+v^2≤3/2,而dxdy=dudv,所以∫∫(x+y)dxdy=∫∫(u+v+1)dudv,由对称性,∫∫ududv=0,∫∫vdudv=0,结果为3π/2
方法二:极坐标:x=1/2+ρcosθ,y=1/2+ρsinθ,dxdy=ρdρdθ
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