两向量组等价的条件

Question

如题所述

Answer 1

两向量组等价的条件如下：

1、两个向量组有相同的向量个数。

2、任意一个向量组中的向量可以由另一个向量组中的向量线性表示，反之亦然。

3、两个向量组的列空间相同。

4、两个向量组的秩相同。

5、两个向量组的极大线性无关组中向量的个数相同。

6、两个向量组的矩阵形式等价，即行等价或列等价。

向量组等价，是向量组可以相互线性表示。与两个向量组的最大无关组可以相互线性表示是充要条件。显然，两个向量组的秩相同，是两个向量组的最大无关组可以相互线性表示的必要不充分条件。

两向量组等价的性质

1、向量组等价，是两向量组中的各向量，都可以用另一个向量组中的向量线性表示。

2、矩阵等价，是存在可逆变换（行变换或列变换，对应于1个可逆矩阵），使得一个矩阵之间可以相互转化。

3、如果是行变换，相当于两矩阵的列向量组是等价的。

4、如果是列变换，相当于两矩阵的行向量组是等价的。

5、由于矩阵的行秩，与列秩相等，就是矩阵的秩，在行列数都相等的情况下，两矩阵等价实际上就是秩相等，反过来，在这种行列数都相等情况下，秩相等，就说明两矩阵等价。

6、这与向量组等价略有区别：向量组等价，则两向量组的秩（极大线性无关组中向量个数）相等，但反过来不一定成立，即两向量组的秩相等，不一定能满足两向量组可以相互线性表示。