两向量组等价的条件

如题所述

两向量组等价的条件如下:

1、两个向量组有相同的向量个数。

2、任意一个向量组中的向量可以由另一个向量组中的向量线性表示,反之亦然。

3、两个向量组的列空间相同。

4、两个向量组的秩相同。

5、两个向量组的极大线性无关组中向量的个数相同。

6、两个向量组的矩阵形式等价,即行等价或列等价。

向量组等价,是向量组可以相互线性表示。与两个向量组的最大无关组可以相互线性表示是充要条件。显然,两个向量组的秩相同,是两个向量组的最大无关组可以相互线性表示的必要不充分条件。

两向量组等价的性质

1、向量组等价,是两向量组中的各向量,都可以用另一个向量组中的向量线性表示。

2、矩阵等价,是存在可逆变换(行变换或列变换,对应于1个可逆矩阵),使得一个矩阵之间可以相互转化。

3、如果是行变换,相当于两矩阵的列向量组是等价的。

4、如果是列变换,相当于两矩阵的行向量组是等价的。

5、由于矩阵的行秩,与列秩相等,就是矩阵的秩,在行列数都相等的情况下,两矩阵等价实际上就是秩相等,反过来,在这种行列数都相等情况下,秩相等,就说明两矩阵等价。

6、这与向量组等价略有区别:向量组等价,则两向量组的秩(极大线性无关组中向量个数)相等,但反过来不一定成立,即两向量组的秩相等,不一定能满足两向量组可以相互线性表示。

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