向量组等价的条件是什么？

Question

如题所述

Answer 1

首先，我们要明确等价的涵义：
设有两个向量组A和B，如果B中的每个向量都能有向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。如果向量组A与B能相互线性表示，则称这两个向量组等价
其次，明确一个定理：
向量组B能由向量组A线性表示的充要条件是矩阵A的秩等于矩阵（A,B）的秩，即R(A)=R(A,B)
明白这两条之后，，证明就很简单了
因为向量组A可由向量组B线性表示，可得R(B)=R(B,A)
向量组B可由向量组A线性表示，可得R(A)=R(A,B)
R(B,A)=R(A,B)
可证