向量组等价的条件是什么？

Question

如题所述

Answer 1

在代数中，因为如果两个向量组等价，则他们有相对的秩。

而向量组的秩就是和他对应的矩阵的秩。

所以两个向量组等价时他们对应矩阵的秩相等。

向量组等价，是向量组可以相互线性表示。与两个向量组的最大无关组可以相互线性表示是充要条件。显然，两个向量组的秩相同，是两个向量组的最大无关组可以相互线性表示的必要不充分条件。

而两个矩阵等价，只能推出这两个向量组的秩相同，是两个向量组最大无关组可以相互线性表示的必要条件。

基本定义

向量组A：a1，a2，…am与向量组B：β1，β2，…βn的等价秩相等条件是

R（A）=R（B）=R（A，B）。

其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵。

（注意区分粗体字与普通字母所表示的不同意义）

或者说：两个向量组可以互相线性表示，则称这两个向量组等价。

注：

1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。

2、任一向量组和它的极大无关组等价。

3、向量组的任意两个极大无关组等价。

4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

5、等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。