急！！！高等数学 函数的单调性与极值

Question

过程一定要详细！！！做得好的＋50分！！！

Answer 1

1、f(x)的定义域为R，恒成立f'(x)=1/(1+x²)-1=-x²/(1+x²)<0，∴f(x)在R上单调减少；
2、(1)f(x)的定义域为R
令 f'(x)=3x²-12x+9=3(x²-4x+3)=3(x-3)(x-1)=0
得x1=1,x2=3
在区间(-∞,1)中，f'(x)>0,f(x)↑
在区间(1,3)中，f'(x)<0,f(x)↓
在区间(3,+∞)中，f'(x)>0,f(x)↑
故f(x)在x=1取得极大值f(1)=4,在x=3取得极小值f(3)=0
(2)f(x)的定义域为R
令 f'(x)=-(2/3)(x-1)^(-1/3)=0无解，x=1时 f'(x)不存在
在区间(-∞,1)中，f'(x)>0,f(x)↑
在区间(1,+∞)中，f'(x)<0,f(x)↓
故f(x)在x=1取得极大值f(1)=2
3、(1)f(x)的定义域为R
令f'(x)=1-x^(-1/3)=0,得 x=1，而x=0时 f'(x) 不存在
在区间(-∞,0)中，f'(x)>0,f(x)↑
在区间(0,1)中，f'(x)<0,f(x)↓
在区间(1,+∞)中，f'(x)>0,f(x)↑
∴(-∞,0)、(1,+∞)分别是f(x)的单调增加区间，(0,1)是f(x)的单调减少区间
f(x)在x=0处取得极大值f(0)=0,在x=1处取得极小值f(1)=-1/2
(2)f(x)的定义域为R
令f'(x)=1/3·(x+1)^(-1/3)·(5x-1)=0得x=1/5,在x=-1时f'(x)不存在
在区间(-∞,-1)中，f'(x)>0,f(x)↑
在区间(-1,1/5)中，f'(x)<0,f(x)↓
在区间(1/5,+∞)中，f'(x)>0,f(x)↑
∴(-∞,-1)、(1/5,+∞)分别是f(x)的单调增加区间，(-1,1/5)是f(x)的单调减少区间
f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=0,在x=1/5处取得极小值f(1/5)=-9/25·(180的三次算术根)

Answer 2

1.对函数求导得:1/(x^2+1)-1=-x^2/(x^2+1)
于是可知:导函数总是小于0,故该函数递减.
2.(1).对函数求导得:3x^2-12x+9,令它等于0
解得:x=1,x=3.则单调区间为:(负无穷,1)与
(3,正无穷)上递增;[1,3]上递减.故当x=1,
有极大值:f(1);x=3时有极小值:f(3)
(2).对函数求导得:-2/3(x-1)^(-1/3),
令它等于0,解得:x=1,则单调区间为:
(负无穷,1)上递增,[1,正无穷)上递减,
故当x=1时有极大值:f(1)=2
3. (1).对函数求导得:1-x^(-1/3),令它等于0,
解得:x=1,则单调区间为:(负无穷,0)与
(1,正无穷)上递增,(0,1]上递减.故当
故当x=1时有极小值:f(1)=-1/2,当x=0时
有极大值:f(0)=0.
(2).对函数求导得:
(x+1)^2/3+(x-2)(2/3)(x+1)^(-1/3)
令它等于0,等式两边同乘(x+1)^(-1/3)化简得:x=1/5.则单调区间为:(负无穷,-1)与
(1/5,正无穷)上递增,(-1,1/5]上递减.故当x=-1时有极大值:f(-1);当x=1/5时有极小值:
f(1/5).