错在把[(1+1/x)^x]^x=[e^x]^x这一步
虽然lim(x→∞) (1+1/x)^x=e,但是这里是底数,而且指数是变量,这种情况下是不能直接代入的。可以这样理解,底数趋于e,但是不等于e,假设是e+0.0001,可是(e+0.0001)^∞远远大于e^∞(可以参考1.0001^∞),因此这里是不能直接代换的。
在做题的时候,就要注意,除了乘除法,可以对因式直接使用等价无穷小或者等价无穷大替换,其他时候都不要这样做,要考虑其他的化简方法。
这道题的解法如下图所示
追问我觉得你的那段解释很赞 但lim(x无穷)(1+x/1)^x=e吧,你那里好像写错了,然后我就没怎么看懂,可以再解释一下吗,为什么不能底数直接带入e,求求了🥺🥺
追答原来的回答确实有两个小错误,主要是敲键盘的时候有时候手跟不上脑子,现在改过来了。
再换一个表达方式解释一下,实际的底数应该是e加上(或者减去)一个非常小的误差α(α→0),就是说,实际值是(e+α)^x,很显然,当x无穷大的时候,(e+α)^x不等于e^x,因此不能直接带入e
但是如果指数不是x,而是任何一个常数c,这个指数不是无穷大了,(e+α)^c就和e^c等价(可以自己作除法验证,极限等于1),就可以直接带入e替换。这也就是我说的,只有乘除法,能对其中的因式作等价替换
太棒了!完美解答了我的问题
啊这 没有吧 不就是把-1提出来变成分数了吗
追答因为我也不会,对不起。
追问好的
没事