一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系

Question

如图，有点不太清晰，请高手证明一下结论（1）和（2），为什么是a+b+c=1和a+b+c=0？

Answer 1

这题我刚刚证明过了

利用y1(x)，y2(x)，y3(x)是方程的解

得到3个等式

再利用这3个等式证明

y是非齐次方程的解时，a＋b＋c＝1

y是齐次方程的解时，a＋b＋c＝0

（2）的证明和（1）一样

a，b，c中有2个任意常数

2阶微分方程的通解中有2个任意常数

所以，y是微分方程的通解

过程如下：

充要条件：a＋b＋c＝1

充要条件：a＋b＋c＝0

Answer 2

二阶线性齐次微分方程为齐，二阶线性非齐次微分方程为非。

（1）将y代入非齐次方程

证明方程成立的充要条件是，a＋b＋c＝1，将y代入非齐次方程，证明方程成立的充要条件是，a＋b＋c＝0。

（2）用上式的证明

a，b，c中有2个任意常数，而方程是二阶微分方程通解含有2个任意常数，所以，y是方程的通解。

扩展资料：

二阶常系数线性微分方程：

二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

常微分方程在高等数学中已有悠久的历史，由于它扎根于各种各样的实际问题中，所以继续保持着前进的动力。

二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用。比较常用的求解方法是待定系数法 、多项式法、常数变易法和微分算子法等。

二阶常系数齐次线性微分方程：

标准形式：y″+py′+qy=0。

特征方程：r^2+pr+q=0。

通解

1.两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)。

2.两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)。

3.一对共轭复根：r1=α+iβ,r2=α-iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)。

二阶常系数非齐次线性微分方程：

标准形式：y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)。