计算心形线r=a(1+cosθ)与圆r=a所围图形面积

Question

如题所述

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

用定积分来求，根据公式，心型线的长度设为L，那么
L=∫(r^2+r'^2)^(1/2)dθ
其中，r'表示r的导数，积分上限2π，下限为0
L=∫{[a(1+cosθ)]^2+(asinθ)^2}^(1/2)dθ
=a*∫[2+2cosθ)^(1/2)dθ
=2a*∫|cos(θ/2)|dθ=2a*[∫cos(θ/2)dθ
(上限为π，下限为0)+∫-cos(θ/2)dθ(下限为π，上限为2π)]
=8a
按照经典的定义，从(a,b)到R3中的连续映射就是一条曲线，这相当于是说：
1、R3中的曲线是一个一维空间的连续像，因此是一维的。
2、R3中的曲线可以通过直线做各种扭曲得到。
3、说参数的某个值，就是说曲线上的一个点，但是反过来不一定，因为我们可以考虑自交的曲线。
扩展资料：
任何一根连续的线条都称为曲线。包括直线、折线、线段、圆弧等。曲线是1-2维的图形，参考《分数维空间》。
处处转折的曲线一般具有无穷大的长度和零的面积，这时，曲线本身就是一个大于1小于2维的空间。
直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。曲线的更严格的定义是区间α，b)到E3中的映射r:α,b)E3。有时也把这映射的像称为曲线。
以曲线的全部或确定的一段作为研究对象时，就得到曲线的整体的几何性质。设曲线C的参数方程为r=r(s)，s∈【α,b)】，s为弧长参数,若其始点和终点重合r(α)=r(b))，这时曲线是闭合的，称为闭曲线。若它在这点的切向量重合，即r┡(α)=r┡(b))，且自身不再相交。
参考资料来源：百度百科——曲线

Answer 3

考虑半个心形线（θ属于0到180度），每一段弧元（ds=sqrt(dr^2+(rdθ)^2)）绕极轴转成一个梯形环面元，面积等于2πr*ds，r是该弧到极轴的距离：
r=rsinθ.
所以立体的侧面积就是：
2πrds的积分，把上面的r和ds代入，并利用条件代入r的表达式。
结果得到一个不太复杂的形式：
2sqrt(2)πa^2(1+cosθ)^(3/2)dθ
把积分变量代换成θ/2，可以比较容易地解出定积分式:
16πa^2*（x-x^3/3），x=sin(θ/2)
总的表面积是从0到π的积分。当然，如果说心形线凹进去的部分不算侧面积，只要求出沿极轴方向离顶点最远的点的θ=2π/3,
并把它做为积分上限即可。
结果分别是：
(32πa^2)/3
和
6sqrt(3)πa^2
望采纳。

Answer 4

心形曲线r=a(1+cosb)
形状是绕了一圈
他的定义域是[0,2π]
但是他关于x轴对称
我们求面积的话,只要求上半部分就好了
因为下面的面积和上面一样
所以我们只做[0,π]上的面积,再前面乘以那个2
就行了.