常数大于0，求心脏线r＝a(1+cosθ)的全长和所围图形的面积 过程尽可能详细，不要灌水

Question

写错了，是常数a大于0
速度！速度！速度！速度！速度！速度！

Answer 1

r＝a(1+cosθ),r'＝-asinθ
利用对称性
长度=2∫(0,π)√r^2+r'^2dθ
=2∫(0,π)√a^2(2+2cosθ)dθ
=2a∫(0,π)√4cos^2(θ/2)dθ
=4a∫(0,π)cos(θ/2)dθ
=8a∫(0,π)cos(θ/2)dθ/2
=8asin(θ/2)|(0,π)
=8a
面积=2*1/2∫(0,π)r^2dθ
=∫(0,π)a^2(1+cosθ)^2dθ
=4a^2∫(0,π)cos^4(θ/2)dθ
=8a^2∫(0,π)cos^4(θ/2)dθ/2 (令θ/2=t)
=8a^2∫(0,π/2)cos^4tdt
=8a^2*3/4*1/2*π/2
=3/2*πa^2追问

答案是正确的！
请问为什么长度=2∫(0,π)√r^2+r'^2dθ？
这不是把ds变成dθ吗，原来的函数是1，是r和θ的函数，变为θ的函数不是应该乘以
√[(dr/dθ)^2+(dθ/dθ)^2]
＝√[(dr/dθ)^2+1]
吗，为什么是√r^2+r'^2？

追答

弧微分:ds=√r^2+r'^2dθ
任何积分最终都要化为定积分来计算的.

追问

3ks