计算心形线r=a(1+cosθ)的面积。

如题所述

第1个回答 2013-12-27

考虑半个心形线（θ属于0到180度），每一段弧元（ds=sqrt(dr^2+(rdθ)^2)）绕极轴转成一个梯形环面元，面积等于2πR*ds，R是该弧到极轴的距离： R=rsinθ. 所以立体的侧面积就是： 2πRds的积分，把上面的R和ds代入，并利用条件代入r的表达式。结果得到一个不太复杂的形式： 2sqrt(2)πa^2(1+cosθ)^(3/2)dθ 把积分变量代换成θ/2，可以比较容易地解出定积分式: 16πa^2*（x-x^3/3），x=sin(θ/2) 总的表面积是从0到π的积分。当然，如果说心形线凹进去的部分不算侧面积，只要求出沿极轴方向离顶点最远的点的θ=2π/3, 并把它做为积分上限即可。结果分别是： (32πa^2)/3 和 6sqrt(3)πa^2 望采纳。

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求由心脏线r=a(1+cosθ)与圆r=a(a>0)所围的公共部分的面积。答：【答案】：根据公式,心型线的长度设为L,那么 L=∫(r^2+r'^2)^(1/2)dθ 其中,r'表示r的导数,积分上限2π,下限为0 L=∫{[a(1+cosθ)]^2+(asinθ)^2}^(1/2)dθ =a*∫[2+2cosθ)^(1/2)dθ =2a*∫|cos(θ/2)|dθ =2a*[∫cos(θ/2)dθ (上限为π,下限为0)+...

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