初二奥数轮换对称式分解因式，步骤写全 (b-c)^3+(c-a)^3+(a-b)^3，已经分出a-b，b-c，c-a了，请问下一步？

Question

如题所述

Answer 1

请问下一步？
(a-b)(b-c)(c-a) 已经是一个3次式了， 而原式也是一个3次式， 所以只差一个系数，
令原式=K(a-b)(b-c)(c-a)， 根据公式确定 两边 a^2 的系数，就可求得K。追问

问题是K是-3还是3，我做出来是3，二楼是-3

追答

从分解结果来看，原式展开后 a^3, b^3, c^3 都会抵消的， 所以观察 a^2 的系数。
(b-c)^3， 这项不含 a, 不分析了。
原式有3(b-c)a^2, 分解式有 -K(b-c)a^2, K= -3，
结果= -3(a-b)(b-c)(c-a) ， 还是写成轮换式为好。
（二楼的解不是轮换式）

这种题目把原式看作 a 的多项式，找出一个根，立刻可以确定三个因式，用轮换式和对称式的特点来解。

Answer 2

解：∵b－c＋c－a＋a－b＝0
∴﹙b－c﹚³＋﹙c－a﹚³＋﹙a－b﹚³＝0

Answer 3

设A=b-c
B=c-a
C=a-b
A^3+B^3+C^3=A^3+B^3+(-(A+B))^3
=A^3+B^3-(A+B)^3
=-3A^2*B-3AB^2
=-3((b-c)^2*(c-a) + (b-c)*(c-a)^2)
=-3(b-c)(c-a)(b-c + c-a)
=3(b-c)(c-a)(a-b)

Answer 4

(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3
=(a-b+b-c)((a-b)^2-(a-b)(b-c)+(b-c)^2)+(c-a)^3
=(a-c)((a-b)^2-(a-b)(b-c)+(b-c)^2-(a-c)^2)
=(a-c)((a-b)(a-b-b+c)+(b-c-a+c)(b-c+a-c))
=(a-c)((a-b)(a-2b+c)-(a-b)(a+b-2c))
=(a-c)(a-b)(a-2b+c-a-b+2c)
=-3(a-b)(a-c)(b-c)本回答被提问者采纳