求证 根号5+三次根号5 是无理数 需要严格证明

Question

已经分别证明了根号5 三次根号5是无理数 但是最后要求证明两数之和是无理数 我试过让他们的和等于a, a是有理数 然后两边平方 结果又得到需要证明两个无理数的和是无理数这样的情况

Answer 1

反证法： 假设 根号5+三次根号5为有理数。
设 5^(1/6)= x, 则 x^6 =5.
根号5+三次根号5 = x^3+x^2=x^2(x+1)=a1, a1>0 为有理数。（由反证假设）

平方得： x^4(x+1)^2=a1^2， x^6(1+1/x)^2=a1^2
==> (1+1/x)^2=a1^2/5 ===> 1+1/x =a1/5 * 根号5，
x = 1/(a1/5 * 根号5 - 1) = a2 根号5 + b2, 其中 a2,b2 为非0有理数. 此过程只是分母有理化，然后方便地记得到的数为 a2 根号5 + b2
于是 x^2 = (a2 根号5 + b2)^2 = a3 根号5 + b3, 其中 a3,b3 为非0有理数. 此过程只是平方后合并有理数部分，然后方便地记得到的数为 a3 根号5 + b3
于是 x^6 = (x^2)^3=(a3根号5 + b3)^3 = A根号5 + C = 5，
其中
A=5a3^3+3a3b3^2=a3(5a3^2 + 3b3^2) 为非0有理数.
C = 3a3^2 * 5 * b3 + b3^3 为有理数。
于是
根号5 = （5-C）/ A 为有理数。

矛盾！

所以 根号5+三次根号5 是无理数追问

嗯 很好！ 我在想 有没有什么定理之类 支持 “有理数与有理数之间的加减乘除的结果是有理数” 么？ 这个是不是有理数的定义的一部分啊？我只是想具体一点 谢谢了 你的证明很好诶 好厉害

追答

“有理数与有理数之间的加减乘除的结果是有理数“
这个可以这么来看： 有理数在 加 乘 运算下形成一个称为 ”域“的代数结构。 于是在 加减乘除 运算下是封闭的。 即：有理数与有理数之间的加减乘除的结果是有理数 （自然除数不能为0）

不好说这是有理数的定义的一部分. 把它看作有理数的性质更恰当。

Answer 2

设5∧(1/2)+5∧(1/3)=p/q，p和q为互素的正整数；此式可改写为5∧(1/3)[5∧(1/6)+1]=p/q，两边取立方得:5[1+5∧(1/6)]∧3=p∧3/q∧3，即p∧3=5q∧3[1+5∧(1/6)]∧3①，所以5|p∧3，因5为素数，所以5|p②，设p=5m，m为正整数，则p∧3=125m∧3，代入①得:q∧3[1+5∧(1/6)]∧3=25m∧3，所以5|q∧3[1+5∧(1/6)]∧3，因5为素数，所以5|q[1+5∧(1/6)]，显然5不能整除1+5∧(1/6)，所以5|q③，根据②、③p和q有公因子5，这和p、q互素的假设矛盾！所以5∧(1/2)+5∧(1/3)为无理数(证毕)。

Answer 3

分别证明根号5，三次根号5 是无理数即可
假设根号5为有理数，则根号5=m/n ，m,n 为整数，且互素
则5=m^2/n^2 m是n 的倍数，矛盾
同理可得三次根号5 是无理数追问

已经分别证明了根号5 三次根号5是无理数 但是最后要求证明两数之和是无理数 我试过让他们的和等于a, a是有理数 然后两边平方 结果又得到需要证明两个无理数的和是无理数这样的情况 然后嘛 我就没辙了呗。。。