怎么证明根号5是无理数

Question

如题所述

Answer 1

1、设√5不是无理数而是有理数，则设√5=p/q(p，q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)。

2、两边平方，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)。

3、p^2含有因数5，设p=5m，代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2，q^2含有因数5，即q有因数5。

4、这样p,q有公因数5，这与假设p,q最大公约数为1矛盾。

5、√5=p/q(p，q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)不成立，

所以，√5不是有理数而是无理数。

扩展资料：

1、常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等。

2、无理数也可以通过非终止的连续分数来处理。

3、无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。有理数由所有分数，整数组成，总能写成整数、有限小数或无限循环小数，并且总能写成两整数之比，如21/7等。

参考资料来源：百度百科-无理数

Answer 2

通俗地说，无理数是不能化为分数的数，
严格地说，无理数就是不能写成两个整数比的数。
用反证法证明√5是无理数。
设√5不是无理数而是有理数，则设√5=p/q(p,q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)
两边平方，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)
p^2含有因数5，设p=5m
代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2
q^2含有因数5，即q有因数5
这样p,q有公因数5，
这与假设p,q最大公约数为1矛盾，
√5=p/q(p,q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)不成立，
√5不是有理数而是无理数。

参考资料：新浪爱问

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