试证明如果线性空间中的每一个向量都可以唯一写成为该空间中n给定向量的线性组合,那么该线性空间是n维的。

Question

如题所述

Answer 1

楼主，你的这个命题是不一定成立的，只有当n维向量的模也是n的时候才成立
另外，此证明是很简单的，参见线性代数的线性变换章节，对此命题有严格的证明。
简单点说就是任何n维矩阵的列变换都可以表示为前面乘以一个n维矩阵
把n个向量排成一个n维矩阵，经过有限次的行变换可以换为n维单位矩阵，即互相垂直的n个单位向量，这是任意n维向量最初的表示方法，所以可证
方法书里面有介绍，很简单，就是最基本的一列一列消元的办法先变成一个上三角举证，再变成一个对角矩阵。

Answer 2

这不用证明，这就是维数的定义。
由于空间中每一个向量都可以用这 n 个向量线性表示，
那么，这 n 个向量就是空间的一组基底，其基向量的个数为 n ，就是空间的维数。