为什么n维线性空间中的n个线性无关的向量都可以构成它的一组基

如题所述

推荐答案推荐于2017-12-15

因为Rn中的任意一向量均可由这n个线性无关的n维向量线性表出,故它是Rn的一组基.
下面证明这一事实,
设X是Rn中的任意一向量,a1,a2,...,an是n个线性无关的n维向量,由Rn中任意n+1个向量必然线性相关,故X,a1,a2,...,an线性相关,即存在不全为零的数b,k1,k2,...,kn,使得
bX+k1a1+k2a2+...knan=0,
b不为零,否则k1a1+k2a2+...+knan=0,与a1,a2,...,an是n个线性无关矛盾,故
X=（-k1a1-k2a2-...-knan/b,

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为什么n维线性空间中的n个线性无关的向量都可以构成它的一组基?谢谢答：即b可由ai(i=1,2,...,n)线性表示由b得任意性知ai(i=1,2,...,n)是空间的一组基

为什么n个线性无关的n维向量都是Rn的一组基答：因为有限维线性空间一定有一组基，个数为n，是该线性空间的维数而且只要是n个线性无关的向量都可以和这组基互相线性表出。证明方法是使用数学归纳法，这里不赘述。

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证明:矩阵A可逆的充要条件是它的行(列)都是n维向量空间的一组基答：矩阵A可逆，则其n个行（或列）向量，必然线性无关（否则，线性相关，则必然导致矩阵的秩小于n，从而不可逆，得出矛盾！）因而构成n维向量空间的一组基。充分性：n个行（或列）向量，是n维向量空间的一组基，则显然这n个向量线性无关，因此矩阵的行（或列）秩，等于n，则该n阶可逆。