y''-2y'＋2y＝4(e^x)cos(x)的特解形式是什么？ 是y*＝(e^x)(acos(x

Question

y''-2y'＋2y＝4(e^x)cos(x)的特解形式是什么？
是y*＝(e^x)(acos(x)＋bsin(x))
还是 y*＝x(e^x)(acos(x)＋bsin(x))
最好有点说明

Answer 1

二阶常系数微分方程(Linear Differential Equation) y''-2y'＋2y＝4(e^x)cos(x)的特解形式是y*＝4(e^x)(a(x)·cos(x)+b(x)·sin(x))，其中a(x)和b(x)是待定的多项式。因为它的非齐次项函数是指数与三角函数相乘的形式，而且没有正弦的部分，所以只有实部。

求二阶常系数微分方程的特解可采用微分算子法，其优点是计算量小，简单易用。

Answer 2

如果记忆力好，你可以直接记住
一般取与右端形式相同的特解，最多相差一两个常数
通常我们取特解为y*=e^x(acosx+bsinx)
你也可以将特解求导，然后代入方程左边
看最后结果是否与右边形式相同，只不过比较繁琐一点
假设第一个特解为y*1，第二个特解为y*2，则
y*1=e^x(acosx+bsinx)
y*1'=e^x(acosx+bsinx)+e^x(-asinx+bcosx)=e^x[(a+b)cosx+(-a+b)sinx]
y*1''=e^x[(a+b)cosx+(-a+b)sinx]+e^x[-(a+b)sinx+(-a+b)cosx]
=e^x[2bcosx-2asinx]
y*1''-2y*1'+2y*1=e^x[2bcosx-2asinx]-e^x[(a+b)cosx+(-a+b)sinx]+e^x(acosx+bsinx)
=e^x(bcosx-asinx) (*1)
y*2=xe^x(acosx+bsinx)
y*2'=e^x(acosx+bsinx)+xe^x(acosx+bsinx)+xe^x(-asinx+bcosx)
=e^x{[a+(a+b)x]cosx+[b+(b-a)x]sinx}
y*2''=e^x(acosx+bsinx)+e^x(-asinx+bcosx)
+e^x(acosx+bsinx)+xe^x(acosx+bsinx)+xe^x(-asinx+bcosx)
+e^x(-asinx+bcosx)+xe^x(-asinx+bcosx)+xe^x(-acosx-bsinx)
=e^x{[2a+2b+2bx]cosx+[2b-2a-2ax]sinx}
y*2''-2y*2'+2y*2=e^x{[2a+2b+2bx]cosx+[2b-2a-2ax]sinx}
-2e^x{[a+(a+b)x]cosx+[b+(b-a)x]sinx}
+2xe^x(acosx+bsinx)
=e^x{2bcosx-2asinx} (*2)
由此可见，y*1和y*2所得结果相同，且均与方程右端有相同的形式
故y*1和y*2都是原方程的特解
但一般我们取较简单的形式，故通常取y*1作特解本回答被网友采纳

Answer 3

校友，你好