求问微分方程： 1、y'''+y''-2y'=x(e^x+4)特解的形式是怎样的？ 2、y*y''-(y')^2-1=0

Question

如题所述

Answer 1

两道题的答案如图所示

Answer 2

1.特征方程：t^3+t^2-2t=0,t=0,-2,1
所以通解为y1=C1+C2e^(-2x)+C3e^x
设特解为y2=(Ax^2+Bx)e^x+Cx^2+Dx
y2'=(2Ax+B)e^x+(Ax^2+Bx)e^x+2Cx+D=(Ax^2+(2A+B)x+B)e^x+2Cx+D
y2''=(2Ax+2A+B)e^x+(Ax^2+(2A+B)x+B)+2C=(Ax^2+(4A+B)x+2A+2B)e^x+2C
y2'''=(2Ax+4A+B)e^x+(Ax^2+(4A+B)x+2A+2B)e^x=(Ax^2+(6A+B)x+6A+3B)e^x
所以10A+2B-4A-2B=1,6A+3B+2A+2B-2B=0,-4C=4,2C-2D=0
所以A=1/6,B=-4/9,C=D=-1
所以y2=(x^2/6-4/9x)e^x-x^2-x
y=y1+y2=C1+C2e^(-2x)+C3e^x+(x^2/6-4/9x)e^x-x^2-x
2.令y'=p，则y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy
所以ypdp/dy-p^2-1=0
ypdp/dy=p^2+1
pdp/(p^2+1)=dy/y
两边积分：1/2ln(p^2+1)=ln|y|+C1
p^2+1=C1y^2 (C1>0)
y'=±√(C1y^2-1)
dy/√(C1y^2-1)=±dx
然后两边积分
（实在没心情算了，不好意思……）本回答被提问者采纳

Answer 3

1.特征方程：r^3+r^2-2r=0, 根r=0,-2,1
因为0,1是根：故设特解形式：y*=x(Ax+B)e^x+x(Cx+D)

2 y*y''-(y')^2-1=0不显含x:
y'=p，y''=pdp/dy 代入：
ypdp/dy-p^2-1=0
pdp/(1+p^2)=dy/y
ln(1+p^2)=2lny+lnC1
1+p^2=C1y^2
p^2=C1y^2-1
y'=p=±√(C1y^2-1)
d(√C1y)/√(C1y^2-1)=±√C1dx
积分得：ln( √C1y+√(C1y^2-1))=±√C1x+lnC2
√C1y+√(C1y^2-1))=C2e^(±√C1x)为通解