y''-2y'+2y=4e^xcosx通解（常微分题目）

Question

y''-2y'+2y=4e^xcosx通解？？
r=1±i
由于cos=1/2(e^(ix)+e^-(ix))
所以4e^xcosx=2(e^(x+ix)+e^(x-ix))
e的指数等于r
那设特解y*(x)=axe^x(cosx+sinx)？？？
如果这样的话很繁琐的。。求解

Answer 1

特解设为y*(x)=xe^x(Acosx+Bsinx)，代入求A，B是很繁琐的，但这是一般的方法。

这里用复数法，考虑方程y''-2y'+2y=4e^(1+i)x
因为r=1+i是单根，可设y(x)=Axe^rx ，y’(x)=Ae^rx+Arxe^rx, y’'(x)=2Are^rx+Ar^2xe^rx,代入：
2Are^rx+Ar^2xe^rx-2Ae^rx-2Arxe^rx+2Axe^rx=4e^rx
2Ar+Ar^2x-2A-2Arx+2Ax=4 (r是根，Ar^2x-2Arx+2Ax=0）
2Ar-2A=4 A=2/(r-1)=-i/2
(-i/2)xe^rx=(-i/2)xe^x(cosx+isinx)的实部为（x/2)e^xsinx为特解

Answer 2

二阶线性微分方程，我把全部的推理给你看一遍，加我扣扣759421287