y''+y'-2y=(x+1)e^x+3cos2x

Question

这个怎么做啊

Answer 1

y''+y'-2y=(x+1)e^x+3cos2x,
特征方程
r^2+r-2=0,
r=1,
-2.
对于
y''+y'-2y=(x+1)e^x，
特解应设为
y*=(ax+b)xe^x=(ax^2+bx)e^x,
则
y'=(ax^2+2ax+bx+b)e^x,
y''=(ax^2+4ax+bx+2a+2b)e^x,
代入
y''+y'-2y=(x+1)e^x，
得
a=1/6,
b=2/9,
则
y*=(1/18)x(3x+4)e^x;
对于
y''+y'-2y=3cos2x，
特解应设为
y*=pcos2x+qsin2x,
则
y'=-2psin2x+2qcos2x,
y''=-4pcos2x+4qsin2x,
代入
y''+y'-2y=3cos2x，
得
p=-9/20,
q=3/20,
则
y*=(3/20)(sin2x-3cos2x).
则原方程的通解是
y
=
Ae^x+Be^(-2x)+(1/18)x(3x+4)e^x*+(3/20)(sin2x-3cos2x).