利用函数的奇偶性求积分

Question

∫（-1到1） x(arctanx)dx

Answer 1

1、∫上限π/3，下限-π/3x^2*sinx/cos^2*xdx
令f(x)=x^2*sinx/cos^2x
f(-x)=(-x)^2*sin(-x)/cos^2(-x)
=-x^2*sin(x)/cos^2x
=-f(x)
所以f(x)是一个奇函数
因为积分上下限关于原点对称,
所以最后定积分的值是:0
2、∫上限1，下限-1（4x^3-6x^2+7）dx
函数f(x)=4x^3是奇函数
函数f(x)=-6x^2是偶函数
函数f(x)=7是偶函数
所以:
积分:(-1,1)(4x^3-6x^2+7)dx
=积分:(-1,1)(-6x^2+7)dx
=2*积分:(0,1)(-6x^2+7)dx
=2*[-2x^3+7x]|(0,1)
=10

Answer 2

令f(x) = x(arctanx) 则 f(-x) = -x(arctan(-x)) = -f(x)
∫(-1 ~0 ) f(x) dx= - ∫(0~1) f(x)dx
所以 ∫(-1 ~1) x(arctanx ) dx = 0

Answer 3

偶函数
素原式=2∫（0到1） x(arctanx)dx

∫x(arctanx)dx
=1/2∫(arctanx)dx²
=1/2x²(arctanx)-1/2∫x²d(arctanx)
=1/2x²(arctanx)-1/2∫x²/(1+x²)dx
=1/2x²(arctanx)-1/2∫[1-1/(1+x²)]dx
=1/2x²(arctanx)-1/2[x-arctan]+C

所以原式=x²(arctanx)-x+arctanx（0到1）
=π/2-1