微分方程y''-y'-2y=xe^2x的一个特解y*应设为?

如题所述

对应齐次线性方程为y''-y'-2y=0,
特征方程为:r^2-r-2=0,
(r-2)(r+1)=0,
r=2,r=-1,
∴通解为:y=C1*e^(2x)+C2*e^(-x),
非齐次方程为:y''-y'-2y=f(x),
f(x)=x*e^(2x),
属于f(x)=Pm(x)e^(αx)型,
α=2,是本特征方程的一个根,
设y*=x^kQm(x)e^(αx),
α=2,
Qm(x)应与x为同次多项式,设为(ax+b),
k是根据依据α是否为特征方程的根而定,1、不是特征方程的根,k=0,
2、是特征方程的单根,k=1,
3、α特征方程的重根,k=2,
故应设特解:y*=x(ax+b)e^(2x),
待定系数法代入微分方程中,解出特解。
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第1个回答  2020-02-20
解:∵y''-3y'+2y=0的特征方程是r²-3r+2=0,则r1=1,r2=2
∴y''-3y'+2y=0的通解是y=c1e^x+c2e^(2x)
(c1,c2是积分常数)
设y''-3y'+2y=xe^(2x)的特解是y=(ax²+bx)e^(2x)
把它代入y''-3y'+2y=xe^(2x)整理得(2ax+b)e^(2x)+2ae^(2x)=xe^(2x)
==>2ax+b+2a=x
比较同次幂系数得a=1/2,b=-1
∴y''-3y'+2y=xe^(2x)的特解是y=(x²/2-x)e^(2x)
故原方程的通解是y=c1e^x+c2e^(2x)+(x²/2-x)e^(2x)
(c1,c2是积分常数)。
第2个回答  2012-06-22
λ^2-λ-2=0
λ=2,-1
y*=(Ax+B)e^(2x)
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