y"+2y'=xe^-2x的通解

Question

如题所述

Answer 1

齐次通解为
y=(a+bx)e^(-x)
找一特解即可
设特解y*=（cx+d）e^x
y*'=（cx+c+d)e^x
y*''=(cx+2c+d)e^x
y*''+2y*'+y*=(cx+2c+d+2cx+2c+2d+cx+d)e^x=(4cx+4c+4d)e^x=xe^x
c=1/4
d=-1/4
y=(a+bx)e^(-x)+(x/4-1/4)e^x
其中a,b为任意常数
也可如此解
设u=y'+y
则u'+u=xe^x
(ue^x)'=(u'+u)e^x=xe^(2x)
则
ue^x=∫xe^(2x)dx=(1/2)∫xde^(2x)=(1/2)xe^(2x)-(1/2)∫e^(2x)dx=(1/2)xe^(2x)-(1/4)e^(2x)+c
(ye^x)'=(y'+y)e^x=ue^x=(1/2)xe^(2x)-(1/4)e^(2x)+c
ye^x=∫[(1/2)xe^(2x)-(1/4)e^(2x)+c]dx=∫[(1/4)x-(1/8)de^(2x)+∫cdx
=[(1/4)x-(1/8)]e^(2x)-∫e^(2x)d[(1/4)x-(1/8)]+bx
=[(1/4)x-(1/8)]e^(2x)-(1/4)∫e^(2x)dx+ax=[(1/4)x-(1/8)]e^(2x)-(1/8)e^(2x)+a+bx
=[(1/4)x-(1/4)]e^(2x)+a+bx
y=[(1/4)x-(1/4)]e^(x)+(a+bx)e^(-x)

Answer 2

y(x)
=
-(1/8*(4*_C1+1+2*x+2*x^2))*exp(-2*x)+_C2
先求其次方程的通解，再用常数变易法或者直接代公式求特解，。。。