已知f(x)是周期为4的奇函数,证明其对称性

Question

如题所述

Answer 1

已知f(x)是周期为4的奇函数,证明其对称性
首先考察一个结论：
若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。
证明：∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，
∴f (x) + f (2a-x) =2c
令x=2b-x
∴f (2b-x) + f [2a-(2b-x) ] =2c (1)
又∵函数y = f (x)图像关于直线x =b成对称
∴ f (2b-x) = f (x)代入（1）
得：f (x) = 2c-f [2(a-b)+x] （2）
令x=2(a-b)+x
∴f [2(a-b)+x] = 2c-f [4(a-b)+x]
代入（2）
得：f (x) = f [4(a-b)+x]
∴ f (x)是周期函数，且4| a-b|是其一个周期

∵f(x)是周期为4的奇函数
即函数f(x)关于原点中心对称
即对称点(a,c)=(0,0)
又f(x)最小正周期为4的周期函数
∴4| a-b|=4==>|a-b|=1
∵a=c=0, ∴b=±1
∵f(x)定义域为R
∴函数f(x)关于点（4k,0）(k∈Z)中心对称
还关于直线x=-1+4k (k∈Z)，直线x=1+4k (k∈Z)成轴对称

正弦函数就是一个典型的实例

Answer 2

f(-x)=-f(x)
f(x+4k)=f(x)=-f(-x)
所以 其对称点为(2k，0)，其中，k为整数
注：若定义在R上的函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则 f(x)的图像关于点( (a+b)/2，0 )对称。本回答被网友采纳

Answer 3

T=4
T=4k,
x=2k,k:Z