单调有界数列一定有极限吗?

Question

lim=(1+1/x)exp(x)=e，这个极限是求证x->无穷时的极限，为什么不求证x->0的极限呢？我能想到的一个解释是：x->无穷时这个极限可以用准则2来求，也就是说这个极限是作为准则2的一个例子给出的，而数列的自变量只有一个变化过程[x->无穷]
还有没有其他答案，或者标准答案是什么？
还有一个原因是,x->0时，任何数的0次方都是1
[准则2就是题目]

Answer 1

单调有界数列一定有极限，比如说如果在递减数列中a1 >= a2 >= ... >= an >= ...那么可以设数集{an}的下确界inf(an) = A,那么可以证明极限就是A（因为是有界集，所以下确界是有意义的）
对于一个单调的函数f(x)，也可以取其值域的上下确界，得到它两边的极限。
我们当然可以求lim(1+1/x)^x在x->0时的（右）极限(左极限底数为负，没有意义）。但是x->0时不是所有数的0次方都是0.因为底数也是趋向于无穷的，这是一个所谓“‘无穷’的零次方”的不定式。为什么一般而言是1呢？比如说有一个函数f(1/x)，limf(1/x)^x在x->0时为1，就是说x * ln(f(1/x)) ->0。换一下元就是ln(f(x))/x ->0 当x->无穷时。只有当f(x)的增长达到指数量级时，这个极限才有可能不是0.像一般的f(x) = 1+x的多项式函数,极限肯定是0.另一方面，考虑一下阶乘：f(n) = n!（只在整数有定义）那么lim(ln(n!)/n)的极限是不为0的！所以一概而论说“任何数的0次方都是1”就不对的。

Answer 2

首先标准答案没有错。lim（1+1/x）^x=e(x->无穷)，这是没错的。
你说的还有一个原因是错误的。x趋向于0和x等于零意义是不一样的，当x趋向于0的时候，（1+1/x）^x是属于1的无穷次方这种不定式的（不定式的意思是说根据不同的情况，可以有不同的结果）。当x趋向于0时lim（1+1/x）^x=lim e^(x*ln(1+1/x))=1,(lim(x*ln(1+1/x))=0),并不是用任何数的0次方是1得来的哦~

Answer 3

不是呀，还要满足左极限等于右极限呢！追问

最近百度知道 回答问题的人不多了

追答

哦。现在大家都忙吧，

Answer 4

嗯，这是正确的