求有二阶连续导数的函数f(t)(t>0),使u=f(√(x^2+y^2))满足偏导

Question

如题所述

Answer 1

解：u'(x)=f' *x(x^2+y^2)^(-1/2), u'(y)=f' *y(x^2+y^2)^(-1/2),
u''(xx)=f''*x(x^2+y^2)^(-1/2)+f'((x^2+y^2)^(-1/2)+x(-x)(x^2+y^2)^(-3/2))
=f''*x(x^2+y^2)^(-1/2)+f'*y^2(x^2+y^2)^(-3/2)
u''(yy)=f''*y(x^2+y^2)^(-1/2)+f'*x^2(x^2+y^2)^(-3/2)
代入得：f''*x(x^2+y^2)^(-1/2)+f'*y^2(x^2+y^2)^(-3/2)+f''*y(x^2+y^2)^(-1/2)+f'*x^2(x^2+y^2)^(-3/2)=1
即：（x+y)f''+f'=√(x^2+y^2)

哟，这个f如何求呢？先放在这里

Answer 2

记r=根号(x^2+y^2)，则
au/ax=f'(r)*x/r，
au/ay=f'(r)*y/r，
a^u/ax^2=f''(r)*x^2/r^2+f'(r)*【(r--x^2/r)/r^2】
a^u/ay^2=f''(r)*y^2/r^2+f'(r)*【(r--y^2/r)/r^2】
代入条件得
1=f''(r)+f'(r)/r，即
r*f''(r)+f'(r)=r
或(r*f'(r))'=(0.5r^2)'
于是r*f'(r)=0.5r^2+C，
f'(r)=0.5r+C/r
f(r)=0.25r^2+Clnr+D。本回答被提问者采纳