（高等数学）对坐标的曲线积分的一个问题（与对称性有关）

Question

这个积分为什么不等于0，不是高度对称的吗，两个积分形式相同，地位相同，相减应该为0吧 ，但是正确结果不是0

麻烦耐心给我解释一下
我的意思是 ：我觉得 y^3dx和x^3dy相等，两个相减就为0
这个满足轮换对称性啊，y^3dx应该等于x^3dy吧

Answer 1

最近好长时间没有上百度知道了，今天、才看见你的问题。现在你们是不是都放暑假了？
你在提问的时候一直忽略了一个重要的因素，就是方向。
其实曲线积分分为2类:第一类曲线积分和第二类曲线积分，2类曲线积分的一个本质区别在于方向问题，其实你好好看看“高等数学”课本，课本在讲第一类曲线积分的时候举了一个例子：求弯曲金属线的质量；课本在讲第二类曲线积分的时候也举了一个例子：求沿着曲线的变力做功。从物理意义来讲：质量只有大小，做功既有大小也有方向。也就是说第二类曲线积分有方向，而第一类没有。
再从你说的例子讲起:原题应该说的很清楚，沿着顺时针方向还是逆时针方向，你把方向忽略了。
假设积分路径是沿着单位圆，逆时针方向，按照第二类无线积分来算：
y^3dx的曲线积分值为-（3/4）pi；x^3dy曲线积分值为（3/4）pi，正好差了一个负号，说明如果你把x和y互换，2个积分并不相等，因为你应该把方向也做相应的调整。
即如果把x和y互换，并且积分方向变为顺时针方向，那么2个积分就相等了。
希望对你有所帮助。

Answer 2

你看这两个函数y^3 与 -x^3对称吗？
如果该积分减号该为加号就对称了。
另外你用格林公式，很明显的追问

我的意思是 ：我觉得 y^3dx和x^3dy相等，两个相减就为0

追答

你的这种看法不对，这是第二型曲线积分，被积向量函数为vector F=(y^3,-x^3)。显然该向量对x,y并不对称，因此它并不是保守力，所以闭曲线积分不等于0.
你用格林公式把曲线积分化成二重积分，可以很容易看出减号时积分不为0，加号时为0。F=(y^3,x^3)才具有对称性。

追问

我是大一的，会用格林公式，知道用了格林公式不为0,。。。。能不能说的简单些，不知道什么是向量函数，我学的是同济版的高度数学

追答

被积分函数具有对称性，但是闭曲线积分不具有对称性，因为你通过换元把y^3dx换成x^3dy时积分路径就变为相反的了（原来顺时针就变为逆时针，vice versa）。

Answer 3

简而言之第二型积分（包括曲线，曲面积分）不具有轮换对称性。
而第一类具有此性质本回答被网友采纳

Answer 4

用圆的参数方程，可以解决。第二类曲线积分不具备轮换对称性。。

Answer 5

直接用三角代换吧，简单些