若f(x)g(x)是E上的可测函数，证明f(x)-g(x)也可测，f(x)/g(x)也可测

Question

如题所述

Answer 1

那么g(x)在e上也可测;f上也可测：存在一个零测集m包含于f由题可知，f(x)在e上可测;f上也可测，所以在e\，g(x)在e\，使得f(x)=g（x）在e\f上成立，你觉得证得不爽的话。
当然，用定义证明也是很容易的

Answer 2

结论不成立。 反例： f(x) 恒=0， g(x)不可测。追问

两者都不等于0的情况下

追答

设 F是E的不可测子集合。
定义
当 x属于F 时，
f(x) = 1/2, g(x) = 2
当 x属于E-F 时，
f(x) = 1/3, g(x) = 3

则 f(x)g(x)恒=1， 可测
但
当 x属于F 时，
f(x) - g(x) = -1.5
f(x) / g(x) = 1/4

当 x属于E-F 时，
f(x) - g(x) = -8/9
f(x) / g(x) = 1/9

f(x）-g(x) ， f(x)/g(x) 都 不可测