设f(x)有二阶导数，且f''(X)>0,lim(x趋于0）f(x)/x=1 .. 证明：当x>0时，有f(x)>x

Question

如题所述

Answer 1

证明：lim(x趋于0）f(x)/x=1
∴f(0)=0,f'(0)=1(由洛必达法则知）
由麦克劳林公式知，
f(x)=f(0)+f'(x)x+1/2f''(m)x²(0<m<x)
∴f(x)=x+1/2f''(m)x²
显然1/2f''(m)x²>0
∴f(x)>x追问

f(0)=0,f'(0)=1(由洛必达法则知）再详细说下，不太懂。。

追答

因为lim(x趋于0）f(x)/x=1
当x趋向于0时，x是无穷小量，而两者的比值是常数，故当x趋向于0时,f(x)是无穷小量，所以f(0)=0,
此时是f(x)/x是0/0类型的未定式，由洛必达法则，分子分母同时求导，得f'(x)=1