用积分推导球的表面积有哪些方法？

Question

如题所述

Answer 1

具体如下：

若和数∑ΔAk(k=1到n)存在极限，设极限是A，则称A是曲面S的面积，即A=∫∮√(1+fx′^2(x，y)+fy′^2(x，y))dσ半经为r的球面积A。

球心在原点的球面方程是x^2+y^2+z^2＝r^2第一卦限球面方程是z＝√(r^2-x^2-y^2) Zx'＝-x/√(r^2-x^2-y^2) ；Zy′＝-y/√(r^2-x^2-y^2)。  

∴√(1+Zx'^2+Zy′^2)=r/√(r^2-x^2-y^2) A＝8∫∫√(1+Zx'^2+Zy′^2)＝8r∫∫dxdy/√(r^2-x^2-y^2)(设x=tsinθy=tcosθ)=8r∫(定积分0到π/2)dθ∫(定积分0到r)t/√(r^2-t^2)dt =4πr∫(定积分0到r)t/√(r^2-t^2)dt=4πr(-√(r^2-t^2))⊥0到r=4πr^2 注；√(x)表示根号x。

相关信息：

球体表面积是指球面所围成的几何体的面积，它包括球面和球面所围成的空间，球体表面积的计算公式为S=4πr²=πD²，该公式可以利用球体积求导来计算。

当λ趋于0时，记此时的半径差为dr，当r增量趋近于零时的增加体积dv。此时球的每层的厚度就薄的像个曲面一样，这部分很薄的体积除以dr就是球的表面积了。