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微积分证明球表面积公式
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第1个回答 2024-03-28
球的表面积公式为S=4πr2,其中r是球的半径。以下是几种推导该公式的微积分方法:
1、将球体想象成由无数个微小的曲面层组成,每层的厚度很小,这些曲面的面积加起来的总和就是球的表面积。
2、考虑球体的一半,将其横向切成很多等高的部分,每部分看成一个圆台,其表面积是2πR2的n倍,因此整个球的表面积就是4πR2。
3、从球心出发,考虑球体任意一点到水平面的距离x,通过该点的圆周长f(x)=2π√(r2-x2),对整个半球对此积分,可以得出表面积。
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怎么用
微积分证明球
的
表面积
和体积
公式
?
答:
dz/dx=-x/(a^2-x^2-y^2)^0.5,dz/dy=-y/(a^2-x^2-y^2)^0.5.由此得,
球体表面积
为:A=2∫∫(D)a/(a^2-x^2-y^2)^0.5dρ。其余部分详见图。
球表面积
的
公式
是怎么推导出来的??
微积分
法
答:
f(x) = √(r² - x²)。the formula for the surface area rotated about the x-axis is。S = 2π ∫[-r,r] f(x) √(1 + f'(x)²) dx。f '(x) = -x/√(r² - x²)。thus √(1 + [f'(x)]²) = √(1 + x²/(r²...
如何使用
微积分
进行球的
面积公式
推导?
答:
𝑓𝑟𝑎𝑐43 𝜋𝑟3 V=frac43πr 3 其中,𝑉V 是球的体积,𝑟r 是球的半径。球的体积是其半径的函数,我们可以通过求体积对半径的导数来得到球的表面积。球的
表面积公式
实际上是体积对半径的导数的绝对值,因为当我们增加球的半径时...
怎么用
微积分证明球
的
表面积
和体积
公式
答:
表面积元分别为微元体(r=y,h=dx的圆柱体)的体积和侧面积∴
dS=2πydx,dV=πy^2dx ∴S=∫(-R,R)2πydx=∫(-R,R)2π√(R^2-x^2
)dx=4πR^2,V=∫(-R,R)π(y^2)dx=∫(-R,R)π(R^2-x^2)dx=4π/3*(R^3)(定积分的具体计算比较简单,自己算算就好了)...
球的
面积公式
是如何推导的?
答:
球的
表面积公式
是 A = 4πr²,其中 A 是表面积,r 是球的半径。这个公式的推导涉及到
微积分
的概念,尤其是积分学的部分。以下是详细的推导过程:首先,我们考虑一个半径为 r 的球体。我们知道,球体的表面积可以通过将
球体表面
上无限小的面积元素相加得到。想象一下,我们将球体沿着纬度方向...
如何用
微积分
推出
球体
的
表面积
,体积
公式
答:
照上面,球截面圆的周长函数为2(pi)√(R^2-x^2)对x进行[0,R]
积分
得到半球
表面积
即dS=4(pi)√(R^2-x^2)对dS积分,设x=R(sin t),t=[0,pi/2]则dS=4(pi)R(cos t)√(R^2-(R(sin t))^2) dt =4(pi)(R^2)(cos t)^2 dt =2(pi)(R^2)+(2(pi)(R^2)(sin 2t)...
怎么用
微积分证明球
的
表面积
和体积
公式
答:
则球的体积元、
表面积
元分别为微元体(r=y,h=dx的圆柱体)的体积和侧面积∴ dS=2πydx, dV=πy^2dx ∴S=∫(-R,R)2πydx=∫(-R,R)2π√(R^2-x^2)dx=4πR^2,V=∫(-R,R)π(y^2)dx=∫(-R,R)π(R^2-x^2)dx=4π/3*(R^3)(定
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