如何证明一个函数处处可导，最好有例题展示

Question

如题所述

Answer 1

最基本的方法是利用可导函数的四则运算法则和复合函数的可导性。

如果是抽象函数或定义式较特殊的，就用定义证明任取一点处都具有可导性。

f(x)=1+xg(x),而lim x->0 g（x）=1

证明f（x）在R上处处可导，且f'（x）=f（x）

1)f(0)=f(0)^2，结合条件2得到f(0)=1。

2)1=f(x-x)=f(x)f(-x)

条件2是连续性的条件，可以得到

1)lim x->0 f(x)=1=f(0)，即f(x)在0点连续。

2) lim x->0 [f(x)-f(0)]/x= lim x->0 g(x)=1，于是f(x)在0点可微且f'(0)=1。

接下来就可以直接证明结论了。

f'(x)

=lim Δx->0 [f(x+Δx)-f(x)]/Δx

=lim Δx->0 f(x)[f(x+Δx)f(-x)-1]/Δx

=f(x) lim Δx->0 [f(Δx)-1]/Δx

=f(x)f'(0)

=f(x)

扩展资料：

实变量函数是可导函数，若其在定义域中每一点导数存在。直观上说，函数图像在其定义域每一点处是相对平滑的，不包含任何尖点、断点。

如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。

一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。

函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标。

从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。

参考资料来源：百度百科——可导函数

Answer 2

最基本的方法是利用可导函数的四则运算法则和复合函数的可导性。

如果是抽象函数或定义式较特殊的，就用定义证明任取一点处都具有可导性。
2. f(x)=1+xg(x),而lim x->0 g（x）=1
证明f（x）在R上处处可导，且f'（x）=f（x）
1)f(0)=f(0)^2，结合条件2得到f(0)=1。
2)1=f(x-x)=f(x)f(-x)
条件2是连续性的条件，可以得到
1)lim x->0 f(x)=1=f(0)，即f(x)在0点连续。
2) lim x->0 [f(x)-f(0)]/x= lim x->0 g(x)=1，于是f(x)在0点可微且f'(0)=1。

接下来就可以直接证明结论了。
f'(x)
=lim Δx->0 [f(x+Δx)-f(x)]/Δx
=lim Δx->0 f(x)[f(x+Δx)f(-x)-1]/Δx
=f(x) lim Δx->0 [f(Δx)-1]/Δx
=f(x)f'(0)
=f(x)本回答被提问者采纳