【高数】设函数f(x)在实轴上连续，f'(0)存在，且具有性质f(x+y)=f(x)f(y),试求出f(x)

Question

如题

Answer 1

f(0+0)=f(0)*f(0), f(0)=0 or 1因为f(x)连续，所以f(x+dx)-f(x)=f(x)f(dx)-f(x)=f(x)(f(dx)-1)f(x)(f(dx)-1)趋向于f(x)(f(0)-1)，任取x，此式应趋向于0，因此f(0)=1（这段你要证明的话用极限定义，不要先取前面的趋向于f(x)(f(0)-1)）随后，由f(x+dx)-f(x)=f(x)(f(dx)-1)两边除以dx，并且因为f(x)在0点可导，f'(x)=f(x)f'(0)，推出f(x)=f'(0)x+c，c为常数，由f(0)=1代入，得c=1。同时f(x-x)=f(x)f(-x)=1，则f'(0)=0因此f(x)=1，常值函数