1,自反:R为A上的二元关系,若 对于任意的x,x属于集合A→<x,x>∈R,则称R在A上是自反的
2;对称: 数学上,若对所有的 a 和 b 属于 X,下述语句保持有效,则集合 X 上的二元关系 R 是对称的:「若 a 关系到 b,则 b 关系到 a。」
数学上表示为: <math>\forall a, b \in X,\ a R b \Rightarrow \; b R a</math>
例如:“和……结婚”是对称关系;“小于”不是对称关系。
对称关系不是反对称关系(aRb 且 bRa 得到 b = a)的反义。有些关系既是对称的又是反对称的,比如"等于";有些关系既不是对称的也不是反对称的,比如整数的"整除";有些关系是对称的但不是反对称的,比如"模 n 同余";有些关系不是对称的但是反对称的,比如"小于"。
3传递: 在逻辑学和数学中,若对所有的 a,b,c 属于 X,下述语句保持有效,则集合 X 上的二元关系 R 是传递的:「若a 关系到 b 且 b 关系到 c, 则 a 关系到 c。」
数学上表示为:
<math>\forall a, b, c \in X,\ a R b \and b R c \; \Rightarrow a R c</math>
4反自反:
5反对称: 数学上,若对所有的 a 和 b 属于 X,下述语句保持有效,则集合 X 上的二元关系 R 是反对称的:「若对所有的 a 和 b 属于 X,若 a 关系到 b 且 b 关系到 a,则 a = b。」
数学上表示为:
<math>\forall a, b \in X,\ a R b \and b R a \; \Rightarrow \; a = b</math>
严格不等是反对称的;实际上 a < b 且 b < a 是不可能的,因此严格不等的反对称性是一种空虚的真(vacuously true)。
注意,反对称关系不是对称关系(aRb 得到 bRa)的反义。有些关系既是对称的又是反对称的,比如"等于";有些关系既不是对称的也不是反对称的,比如整数的"整除";有些关系是对称的但不是反对称的,比如"模 n 同余";有些关系不是对称的但是反对称的,比如"小于"。
满足传递性和自反性的反对称关系称为偏序关系。
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