高数里面求极限时有哪些可以等价替换的等价无穷小

Question

如题所述

Answer 1

如果你是本科生，那么只要知道 在因式乘积的情况下，每个因式都可以用等价无穷小替换。实际上，有时候加法也是可以的。
之所以这个替换这么不容易找规律，是因为，等价无穷小替换是基于泰勒公式的。
对于考研的学生来讲，如果能熟练运用泰勒公式，相当比例的极限问题可以秒杀，像08年的大题，第一题，口算即可。
泰勒公式只需要展开到第二项。
求极限要达到一个境界，不用罗比达法则（因为考研的题目，就是像让同学用洛必达，掉进陷阱。）泰勒公式才是求极限的最好工具。追问

看了您的这段文字，真感觉和大神一样，好像加您为好友，以后可以向您请教问题

追答

呵呵，你客气了。给你写几个泰勒公式在极限上的应用。
sinx=x- 1/6 *x^3 +o(x^3);应该看得懂，o( )是一个高阶无穷小。
arcsinx=x+1/6 *x^3 +o(x^3）
tanx
arctanx
cosx
ln(1+x)
e^x
这里的x都要趋于零，当然x可以是广义的，是一个整体量也可以，只要整体趋于零。

追问

谢谢，您能把tanx，arctanx，ln(1+x)，arccosx写出来吗？

追答

tanx=x+x^3/3+o(…)，三次方的高阶无穷小，就不写了。
arctanx=x-x^3/3+o(…).
arccosx 不用记。不常用。
ln(1+x)=x-x^2/2+o(…)。
所有这些展开式中的x都有要求的，满足收敛就行了，这里不详细讲了。在极限应用中，只要x这一部分趋于零，哪怕x是一个整体也无妨，那么这个整体就可以视为一个无穷小，既而可以用泰勒公式展开到第二项，足以。

Answer 2

亲，满意请采纳哦!

追问

这些我都知道，老师上课都讲过，就是我在做题的时候，有一题的答案解析的一步是

也就是说

我感觉做题的时候，很难会想到这个，都会直接罗比达求解了，可是没有上面的转化，用罗比达是求不出来的。

所以，我想问一下，除了你说的那些常见的之外，还有哪些，这样记一下，做题时会方便很多。



追答

你好，我个人建议，遇到不能直接替换的，还是以罗比达法则去做。这在一般情况下，是比较有效的。不过，确实如上面那位大神所说，考研时就要想到用泰勒公式了，这主要取决于现在的学习层次。

Answer 3

这个可以用泰勒公式展开呀，只选取前二项就行！