解ï¼âµf'(x)=1+â«<0,x>[3e^(-t)-f(t)]dt
â´f'(0)=1..........(1)
f"(x)=3e^(-x)-f(x)..........(2)
âµå¾®åæ¹ç¨(2)çé½æ¬¡æ¹ç¨æ¯ f"(x)+f(x)=0
äºæ¯ï¼æ¤é½æ¬¡æ¹ç¨çç¹å¾æ¹ç¨æ¯r^2+1=0ï¼åç¹å¾æ ¹æ¯r=±iï¼äºä¸åçå¤æ°æ ¹ï¼
â´æ¤é½æ¬¡æ¹ç¨çé解æ¯f(x)=C1cosx+C2sinx (C1,C2æ¯å¸¸æ°)
âµè®¾æ¹ç¨(2)ç解为f(x)=Ae^(-x)
代å
¥æ¹ç¨(2)ï¼å¾Ae^(-x)=3e^(-x)-Ae^(-x)
==>2A=3
==>A=3/2
â´y=(3/2)e^(-x)æ¯æ¹ç¨(2)çä¸ä¸ªç¹è§£
å³ æ¹ç¨(2)çé解æ¯f(x)=C1cosx+C2sinx+(3/2)e^(-x)..........(3)
==>f'(x)=-C1sinx+C2cosx-(3/2)e^(-x).........(4)
âµf(0)=0ï¼f'(0)=1
代å
¥(3)å(4)ï¼å¯æ±å¾
C1+3/2=0ï¼C2-3/2=1
==>C1=-3/2ï¼C2=5/2
â´æ¹ç¨(2)满足æç»åå§æ¡ä»¶çç¹è§£æ¯f(x)=(3cosx+5sinx+3e^(-x))/2
æ
ææ±f(x)=(3cosx+5sinx+3e^(-x))/2ã
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