二阶常系数非齐次线性微分方程的题目怎么做

Question

如题所述

Answer 1

新年好！Happy Chinese New Year ！

楼主的问题是：
二阶常系数非齐次线性微分方程的题目怎么解？

答：

1、如楼上网友所说，确确实实，大学教材有。
可是绝大多数的大学微积分教材都有这么三个无耻特点：
A、大大咧咧，需要细细解释的地方，总是大大咧咧一跳而过；
B、能彻底说清楚的地方，又故弄玄虚、夸张其词、不知所云；
备课纸上写得清清楚楚，印刷时、出版时、板书时，却又
切断脉络，制造悬念。例如构造函数时，总喜欢突如其来、
莫名其妙、横空出世般来一个“显然”、“不妨设”、、、、、
这种痞子学风没有一本书不是渲染得淋漓尽致，这样他们
就有了骗职称的资本，有了升官发财的阶梯。
C、乱起炉灶，不了解国际惯例，了解了也不理睬国际惯例，
在最最基本的概念上，胡搅蛮缠、刻意误导、信口雌黄，
比比皆是、触目惊心。

2、二阶常系数齐次线性微分方程的解法是特征方程法
A、什么是特征方程characteristic equation？
B、基本函数的求导，有一个函数最可爱，
它是 e^x ，无论怎样求导、积分，我就是我，我自巍然不动！
次可爱的是 sinx 跟 cosx，每导四次，恢复原形；
合在一起成为最佳拍档：e^(λx)，这里的λ只是一个常数，由于
习惯，而采用λ表示。λ可能是实数，可能是虚数、可能是复数。
究竟是什么，有微分方程的系数确定。
C、微分方程，就是导数方程，就是differential equation。
刚学导数之处时， 数学教师，个个神气活现、不可一世，夸夸
其谈，他们面不改色心照跳，在胡扯什么可微、可导的区别，
到了全微分、全导数、偏微分、偏导数、微分方程、导数方程
、、、、、，他们一个个全都前倨后恭，一个个都像斗败的公
鸡，再也不会口沫横飞地胡扯是这个不是那个，这个说法错那
个说法对，而是糊里糊涂、稀里糊涂地搅糊起来。
D、由于微分方程的线性特点，所以无论怎样求导，那三个可爱的
函数不会变成其它形式的函数，代入到微分方程中，函数就可
以约分约去，而变成一个普普通通的代数方程。这个方程就是
特征方程。特征二字，就是方程是线性的、齐次的、常系数的。

3、楼主仔细琢磨琢磨，若能理解上面的解说，你就会发现：
一堆草包，是怎么混到教授的；一堆垃圾，是怎么混成教材的。

加油！
欢迎追问，欢迎质疑，欢迎批评！

以上胡言乱语，供革命青年、觉悟高的同学老师、政治模范、先进群众大批判专用。

Answer 2

特征方程为t^2-4t+3=0
(t-1)(t-3)=0
t=1,3
因此齐次方程通解为c1e^x+c2e^3x
设特解为y*=ax+b,代入原方程得：
-4a+3ax+3b=x
对比系数得：3a=1,3b-4a=0
得a=1/3,b=4/9
因此原方程的解为y=c1e^x+c2e^3x+x+x/3+4/9
性非齐次微分方程的通解=对应齐次微分方程的通解+特解
求解过程大致分以下两步进行：
1、求对应齐次微分方程y''-y=0...（1）的通解，方程（1）的特征方程为r^2-1=0，则r=1，-1 从而方程（1）的通解就是y=ce^x+de^(-x)，c、d为待求量，这里还需用到两个边界条件，不知有没有，就是f（0）=a，f‘（0）=b，a、b均为已知，用于带入通解以确定待求量c、d，否则就无法求了。
2、假设第一步中所需条件已知，现在就可以求特解了，构造一个带参数的特解（待定系数法），带入原方程，根据同类项对比就能解出系数，这里就构造如下待定特解：y=a0+a1*x+a2*x^2，带入原方程，可解得a0，a1，a2，这样就求出了特解

Answer 3

书上有例题