高数 二阶线性非齐次微分方程

Question

如题所述

Answer 1

解：∵f'(x)=1+∫<0,x>[3e^(-t)-f(t)]dt
∴f'(0)=1..........(1)
f"(x)=3e^(-x)-f(x)..........(2)
∵微分方程(2)的齐次方程是 f"(x)+f(x)=0
于是，此齐次方程的特征方程是r^2+1=0，则特征根是r=±i（二不同的复数根）
∴此齐次方程的通解是f(x)=C1cosx+C2sinx (C1,C2是常数)
∵设方程(2)的解为f(x)=Ae^(-x)
代入方程(2)，得Ae^(-x)=3e^(-x)-Ae^(-x)
==>2A=3
==>A=3/2
∴y=(3/2)e^(-x)是方程(2)的一个特解
即 方程(2)的通解是f(x)=C1cosx+C2sinx+(3/2)e^(-x)..........(3)
==>f'(x)=-C1sinx+C2cosx-(3/2)e^(-x).........(4)
∵f(0)=0，f'(0)=1
代入(3)和(4)，可求得
C1+3/2=0，C2-3/2=1
==>C1=-3/2，C2=5/2
∴方程(2)满足所给初始条件的特解是f(x)=(3cosx+5sinx+3e^(-x))/2
故所求f(x)=(3cosx+5sinx+3e^(-x))/2。