心形线的周长那个公式究竟是怎么得到的，看不懂，就是帮忙分析一下过程？

Question

如题所述

Answer 1

设心形线的极坐标方程为 ρ=a(1-cosθ) ，则心形线的周长为C=8a。

推导过程为

C=∫(r^2+r'^2)^(1/2)dθ  其中,r'表示r的导数,积分上限2π,下限为0

C=∫{[a(1+cosθ)]^2+(asinθ)^2}^(1/2)dθ
=a*∫[2+2cosθ)^(1/2)dθ
=2a*∫|cos(θ/2)|dθ=2a*[∫cos(θ/2)dθ (上限为π,下限为0)+∫-cos(θ/2)dθ(下限为π,上限为2π)]
=8a

扩展资料

心形线的平面直角坐标系方程表达式分别为 x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2) 和 x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2）

心形线的极坐标方程为：

水平方向： ρ=a(1-cosθ) 或 ρ=a(1+cosθ) (a>0)

垂直方向： ρ=a(1-sinθ) 或 ρ=a(1+sinθ) (a>0)

心形线的参数方程为：

-pi<=t<=pi 或 0<=t<=2*pi

x=a*(2*cos(t)-cos(2*t))

y=a*(2*sin(t)-sin(2*t))

所围面积为3/2*PI*a^2，形成的弧长为8a

参考资料百度百科-心形线

Answer 2

弧长微元ds=√(dx^2+dy^2),极坐标参数方程x=rcosθ，y=rsinθ，注意到r是θ的函数，dx=（r'(θ)cosθ-r(θ)sinθ)dθ，dy=(r'(θ)sinθ+r(θ)cosθ)dθ，带回去化简就可以得到极坐标下弧长微元，再积分即可。当然也可以在极坐标下直接分析增量，在θ变化很小的时候某些弧可以看做直线来处理，同样也能得到一样的弧长微元。

Answer 3

心形线的周长公式

r=a(1+cosθ)(a>0)

C=∫(r^2+r'^2)^(1/2)dθ  其中,r'表示r的导数,积分上限2π,下限为0

C=∫{[a(1+cosθ)]^2+(asinθ)^2}^(1/2)dθ
=a*∫[2+2cosθ)^(1/2)dθ
=2a*∫|cos(θ/2)|dθ=2a*[∫cos(θ/2)dθ (上限为π,下限为0)+∫-cos(θ/2)dθ(下限为π,上限为2π)]
=8a

追问

为什么是r平方加r'平方，然后开根啊？

追答

定积分啊

追问

我的意思是这个公式是怎么推导的，书上没看到好像

本回答被网友采纳

Answer 4

没有那个公式吧