如何求函数的不定积分

Question

如题所述

Answer 1

不定积分是求原函数的过程，基本步骤如下：
识别被积函数：确定被积函数是求不定积分的第一步。
选择适当的方法：根据被积函数的特点选择适当的积分方法，如基本公式法、换元法、分部积分法等。
求积分：按照选定的方法计算积分。
确定常数：由于不定积分的结果是一个函数，因此在计算过程中需要引入一个任意常数C。
写出最终结果：将求得的积分结果写成原函数的形式，并注明任意常数C。
示例：求不定积分 ∫2x^3 dx
识别被积函数：被积函数为2x^3。
选择适当的方法：由于被积函数是一个多项式，且次数为奇数，因此选择基本公式法。
求积分：使用基本公式法，有 ∫2x^3 dx = (2/4)x^4 + C。
确定常数：将任意常数C写入结果中。
写出最终结果：原函数为 (1/2)x^4 + C。

Answer 2

lnx的平方的不定积分：

令lnx=t，x=e^t

∫lnx²dx

=∫2lnxdx

=2∫lnxdx

=2∫xlnxdlnx

=2∫(e^t)·tdt

=2∫td(e^t)

=2[(e^t)·t-∫(e^t)dt]

=2[(e^t)·t-(e^t)]+C

=2(e^t)·(t-1)+C

=2x(lnx-1)+C

不定积分的意义：

如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x)。

即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数，那么f(x)就有无限多个原函数。

如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。