如何求函数的不定积分？

Question

如题所述

Answer 1

不定积分是微积分中的一个重要概念，它与导数（或微分）是互逆的两个运算。不定积分的基本思想是求一个函数的原函数（或不定积分），即找到一个函数，它的导数等于给定的函数。

求不定积分的一般步骤如下：

确定不定积分的被积函数：首先明确要求不定积分的函数表达式。

寻找原函数：根据被积函数的形式，选择适当的积分公式或法则来求解。常用的积分公式和法则包括：

幂函数的积分公式：∫xndx=n+11xn+1+C，其中C是积分常数。

指数函数的积分公式：∫exdx=ex+C。

对数函数的积分公式：∫x1dx=ln∣x∣+C。

三角函数的积分公式：∫sinxdx=−cosx+C，∫cosxdx=sinx+C。

反三角函数的积分公式：∫1−x21dx=arcsinx+C。

求解不定积分：根据选择的积分公式或法则，求解不定积分，并加上适当的常数C，得到原函数。

验证答案：最后，验证所求的原函数是否正确，可以通过求导验证。如果求导后的结果与被积函数相同，则所求的原函数是正确的。

下面是一个具体的例子，演示如何求函数的不定积分：

假设要求函数 f(x)=x2 的不定积分。

被积函数为 f(x)=x2。

使用幂函数的积分公式，有 ∫xndx=n+11xn+1+C。

将 n=2 代入上式，得到 ∫x2dx=31x3+C。

验证答案：对 31x3+C 求导，得到 f′(x)=x2，与被积函数相同，所以答案是正确的。

Answer 2

x=tana

dx= (seca)^2 da

∫ ln(x+√(1+x^2) )dx

=∫ (seca)^2ln(tana+seca) ) da

=∫ ln(tana+seca) ) d(tana)

= tana ln(tana+seca)) - ∫ [tana/(tana+seca)] ( (seca)^2+ secatana) da

=tana ln(tana+seca)) -∫ tana(seca) da

=tana ln(tana+seca)) -seca + C

=xln(x+√(1+x^2)) - √(1+x^2) + C

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C