一介齐次方程y'+2y=x的通解怎么求?

Question

一介齐次方程y'+2y=x的通解怎么求?

Answer 1

一介齐次方程y'+2y=x的通解怎么求?
(1)常数变易法：
对应齐次方程y'+2y=0的特征方程为：
r+2=0
特征根为：r=-2
通解：y=C1e^（-2x）
因此设y'+2y=x的通解为：
y=u(x)e^（-2x）
y'=-2u(x)e^（-2x）+u'(x)e^（-2x）
所以：
-2u(x)e^（-2x）+u'(x)e^（-2x）+2u(x)e^（-2x）=x
u'(x)e^（-2x）=x
u'(x)=xe^（2x）
u(x)=∫xe^（2x）dx
=(1/2)∫xde^（2x）
=(1/2)[xe^（2x）-∫e^（2x）dx]
=(1/2)xe^（2x）-(1/4)∫e^（2x）d(2x)
=(1/2)xe^（2x）-(1/4)e^（2x）+C2
所以y'+2y=x的通解为：
y=[(1/2)xe^（2x）-(1/4)e^（2x）+C2]e^（-2x）

=(1/2)x-(1/4)+C2e^（-2x）
(2)对应齐次方程y'+2y=0的特征方程为：
r+2=0
特征根为：r=-2
通解：y=Ce^（-2x）
因此设y'+2y=x的特解为：
Y=Ax+B
Y'=A
A+2Ax+2B=x
2A=1
A+2B=0
解得：
A=1/2
B=-1/4
所以Y=（1/2）x-（1/4）
所以y'+2y=x的通解为：
y=Ce^（-2x）+（1/2）x-（1/4）