求微分方程y''+4y'+4y=e^-2x的通解。

Question

如题所述

Answer 1

为零次多项式，
所以假设原方程有特解y*=ax²把上述答案再完善一下;2
所以该方程的通解为y=(c1+c2x)e^(-2x)+[x²：
该方程的特征方程为r²,
xe^(-2x)
由于r=-2（2重根）且p_m是1,则特征方程有两个相等的特征根r=-2（2重根）
从而得到原微分方程的两个线性无关解e^(-2x);+4r+4=0;e^(-2x)
代入原方程，待定系数法，得
2a=1
从而得到
a=1/

Answer 2

特征方程为r^2+4r+4=0
则r1=r2=-2，齐次方程通解为：(c1+c2x)*e^(-2x)
而右边e^(-2x),指数系数含有-2,
所以特解可设为:
Q(x)=ax^2e^(-2x)
则：Q'(x)=a(2x-2x^2)e^(-2x)
Q''(x)=a(2-8x+4x^2)e^(-2x)
带入得
a(2-8x+4x^2)e^(-2x)+4a(2x-2x^2)e^(-2x)+4ax^2e^(-2x)=e^(-2x)
则：2a=1
a=1/2
所以通解为：(c1+c2x)*e^(-2x)+1/2x^2e^(-2x)

Answer 3

应该是y″-4y′+4y=e∧2x吧?
解法如下:y″-4y’+4y=e∧2x
为二阶常系数非齐次线性线性微分方程
,其中λ=2
其特征方程为:r2-4r+4=0
解得:r1=r2=2
故与原微分方程对应的齐次线性微分方程的通解为:Y=(C1+C2x)e2x
因为λ=2是特征方程的双根，所以应设y*=ax2e2x
则y*′=2axe2x+2ax2e2x
y*″=2ae2x+8axe2x+4ax2e2x
代入原方程解得a=1/2
因此求的一个特解为:y*=
½x2e2x
故所求通解为:y=(C1+C2x)e2x+
½x2e2x
你看对不对，不对再问我。