f(t)是奇函数，证明：∫下0上x f(t)dt是偶函数

Question

f(t)是奇函数，证明：∫下0上x f(t)dt是偶函数
答案中设F(x)=∫下0上x f(t)dt，为什么不设F(t)=∫下0上x f(t)dt？

Answer 1

∫(0,x) f(t)dt是自变量为x的变上限积分函数，函数f(t)的自变量是t，但是它的积分和t没有关系，而是和积分区间有关，在不同的积分区间上，f(t)的积分不同，这里积分区间下限为定值0，上限是一个变量x，这样得到的积分和x有关，所以这个积分函数是关于自变量x的函数。
对于证明，我想你有答案了，应该知道怎么证了。
设F(x)=∫(0,x) f(t)dt ，则F(-x)=∫(0,-x) f(t)dt ，设u=-t，则t=-u，dt=-du，
又f(t)是奇函数，所以f(t)=-f(-t)
于是F(-x)=∫(0,-x) f(t)dt =∫(0,x) -f(-u)du=∫(0,x) f(u)dtu=F(x)，
(这里只不过函数f(t)的自变量的符号不同而已，一个是t，一个是u)
所以∫(0,x) f(t)dt是偶函数。