若f(t)是连续函数且为奇函数，证明他的0到x的积分是偶函数。

Question

f(x)=f(-x)为偶函数 那么是不是应该证明原函数F(x)=F(-x)?为什么F(x)+F(-x)=∫(-x,x)f(t)dt=0，所以F(x)=∫(0,x)f(t)dt是偶函数？

Answer 1

声明：∫(a,b)f(x)dx=F(x)|(a,b)表示f(x)从a到b的定积分，F(x)为原函数之一

设F(x)=∫(0,x)f(t)dt,
F(x)-F(-x)
=∫(0,x)f(t)dt-∫(0,-x)f(t)d(t)(做替换s=-t，积分限相应地跟着变)
=∫(0,x)f(t)dt-∫(0,x)f(-s)d(-s)
=∫(0,x)f(t)dt-∫(0,x)[-f(s)](-ds)
=∫(0,x)f(t)dt-∫(0,x)f(s)ds
=0
所以F(x)=∫(0,x)f(t)dt是偶函数.

Answer 2

你就用定义证明就行，需要注意的是中间要用一步换元，就是让t=-m，就行了。