二重积分轮换对称性

Question

如题所述

Answer 1

你说的那几种情况都不是轮换对称性，首先所谓轮换对称性就是，如果把f(x,y)中的x换成y，y换成x后，f(x,y)的形式没有变化，就说f(x,y)具有轮换对称性。例如x^2+y^2有轮换对称性，而2x+3y没有轮换对称性（因为换完后是2y+3x，和原来的不一样）。下面说明轮换对称性在二重积分中的应用，我们知道二重积分的积分区域的边界可以用方程f(x,y)=0表示，如果这里的f(x,y)具有轮换对称性，那么被积函数中的x和y互换后积分结果不变。例如∫∫x^2dxdy，积分区域为圆周x^2+y^2=1，由于轮换对称性可知∫∫x^2dxdy=∫∫y^2dxdy（这就是把被积函数中的x换成了y），因此积分=(1/2)∫∫2x^2dxdy=(1/2)∫∫(x^2+y^2)dxdy，再用极坐标计算就简单多了。有不明白的地方欢迎追问。

Answer 2

【轮换对称】的概念本来是与代数式有关（例如：bcd+cda+dab+abc），而与二重积分无关。
在计算二重积分时，积分区域具有轮换对称性，可以充分利用。
如果积分区域不具有轮换对称性，被积函数即使具有轮换对称性，也基本没有用。
注：【函数】没有【关于直线y
=
x对称】的概念

Answer 3