分析:这是第三代微分定理,具体情况请查张景中
证明:
f(x)在(a,b)可导,且导数为0,原因如下:
令:x,x+h∈(a,b),则根据已知可得:
|f(x+h)-f(x)|≤Kh²
上述中,
当h=0时,f(x+h)-f(x)=0
当h≠0时,
|f(x+h)-f(x)|/|h|≤K|h|
∴
-K|h|≤ [f(x+h)-f(x)]/h ≤ K|h|
又∵
lim(h→0) -K|h| =0
lim(h→0) K|h| =0
根据夹逼准则:
lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h =0
即:f'(x) = 0
又∵ ∀x∈(a,b)
∴f(x)在(a,b)可导,且导数为0
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