若在x趋近0时，limf（x）/x=a,则f'（0）=a为什么不对

Question

如题所述

Answer 1

如果没有f（x）在x=0点处连续这个条件。那么这句话就是错的。

因为lim（x→0）f（x）/x=a，这个极限的成立，本身是无需f（x）在x=0点处连续的要求的。
所以就这个极限的存在本身，是无法得到f（x）在x=0点处连续的结论。
所以如果题目没给出这个条件，那么这句话就是错的。追问

谢谢，我还想问您，有时做题时遇到在x趋近0时，若limf（x）/x=a,能推出limf（x）=0,怎么理解？谢谢

谢谢，我还想问您，有时做题时遇到在x趋近0时，若limf（x）/x=a,能推出limf（x）=0,怎么理解？谢谢

追答

如果f（x）在x=0处连续，那么函数值等于极限值，即lim（x→0）f（x）=f（0），而f（x）=x*f（x）/x
所以lim（x→0）f（x）=lim（x→0）x*f（x）/x=lim（x→0）x*lim（x→0）f（x）/x=0*a=0
所以f（0）=0