球表面积的公式是怎么推导出来的？？ 微积分法

Question

如题所述

Answer 1

f(x) = √(r² - x²)。

the formula for the surface area rotated about the x-axis is。

S = 2π ∫[-r,r] f(x) √(1 + f'(x)²) dx。

f '(x) = -x/√(r² - x²)。

thus

√(1 + [f'(x)]²) = √(1 + x²/(r²-x²))。

= √(r²/(r²-x²))。

= r/√(r^2 - x^2)。

thus

S = 2π ∫[-r,r] r dx。

= 2π (rx) ... from -r to r。

= 2π r (2r)。

= 4π r²。

扩展资料：

积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，定积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。

定积分和不定积分的定义迥然不同，定积分是求图形的面积，即是求微元元素的累加和，而不定积分则是求其原函数，而牛顿和莱布尼茨则使两者产生了紧密的联系（详见牛顿-莱布尼茨公式）。

参考资料来源：百度百科-微积分

Answer 2

解：设球半径为a，圆心位于原点，则其上半部的方程为z=(a^2-x^2-y^2)^0.5.

dz/dx=-x/(a^2-x^2-y^2)^0.5,dz/dy=-y/(a^2-x^2-y^2)^0.5.由此得，球体表面积为：A=2∫∫(D)a/(a^2-x^2-y^2)^0.5dρ。(曲面面积计算公式，楼主应该知道吧)其余部分详见图。

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Answer 3

让圆y＝√(R^2－x^2)绕x轴旋转，得到球体x^2+y^2+z^2≤R^2。求球的表面积。
以x为积分变量，积分限是[－R，R]。
在[－R，R]上任取一个子区间[x，x+△x]，这一段圆弧绕x轴得到的球上部分的面积近似为2π×y×ds，ds是弧长。
所以球的表面积S＝∫<－R，R>2π×y×√(1+y'^2)dx，整理一下即得到S＝4πR

Answer 4

三楼基本正确不过
最后一步要按照广义积分，求极限
不能直接得结果因为r=a，分母为0，函数间断
要求r→a的极限
不过你结果是对的